Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若a是從0、1、2、3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0、1、2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．
（2）若a是從區(qū)間[0，3]內(nèi)任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]內(nèi)任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0，△=4a²-4b²≥0，轉(zhuǎn)化為古典概率求解．
（2）轉(zhuǎn)化為幾何概率求解．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0方程有實(shí)根，∴△=4a²-4b²≥0，
即a≥b
∵a是從0、1、2、3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0、1、2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，
∴轉(zhuǎn)化為古典概率，
總的基本事件有4×3=12個，符合題意的有9個，
上述方程有實(shí)根的概率為

9

12

=

3

4

．
（2））∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0，∴，△=4a²-4b²≥0，
即a≥b，且a∈[0，3]，b∈[0，2]，
建立幾何概率：點(diǎn)（a，b），

S的幾何圖形為矩形；面積為6，符合條件的圖形Ω的面積為4，
方程有實(shí)根的概率為：

4

6

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了古典概率，幾何概率與方程的聯(lián)系．