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已知函數f(x)=3x的定義域為R,滿足f(a+2)=18,函數g(x)=λ3ax-4x的定義域為[0,1].
(1)求實數a的值;
(2)若函數g(x)為減函數,求實數λ的取值范圍;
(3)若函數g(x)的最大值為數學公式,求實數λ的值.

解:(1)由f(a+2)=18,得3a+2=18,即3a=2,所以a=log32(2分)
(2)把a=log32代入,解得:g(x)=λ•3ax-4x=λ•2x-4x,設0≤x1<x2≤1,
∵g(x)在[0,1]上是單調遞減函數,
∴g(x2)-g(x1)<0在[0,1]上恒成立(6分)
在[0,1]上恒成立,
恒成立(8分)

∴實數λ的取值范圍是λ≤2(10分)
(3)設t=2x,則t∈[1,2],
則φ(t)=-t2+λt在t∈[1,2]上的最大值為(11分)
∴φ(t)的對稱軸t=,分三種情況:
①當,即λ>4時,由,
解得(舍去)(12分)
②當,即λ<2時,由,
解得(13分)
③當,即2≤λ≤4時,由,
解得(均舍去)(15分)
綜上知,實數λ的值為(16分)
分析:(1)由f(a+2)=18列出關于a的方程,利用對數函數的性質求出a;
(2)把a的值代入g(x)的解析式,設0≤x1<x2≤1,由減函數的定義知g(x2)-g(x1)<0在[0,1]上恒成立,用分析法和指數函數的性質求出λ的范圍;
(3)設t=2x,求出t∈[1,2],則g(x)轉化為關于t的二次函數,即該函數在[1,2]上的最大值為,因對稱軸含有參數,需要討論與區(qū)間的關系,故分三種情況并結合二次函數的圖象求解.
點評:本題是難度大的有關函數性質的綜合題,考查了函數的單調性的定義應用和函數最值及其幾何意義,用了數形結合思想、分析法和換元法.
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3-x
+
1
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