Question

已知函數f（x）=3^x的定義域為R，滿足f（a+2）=18，函數g（x）=λ3^ax-4^x的定義域為[0，1]．
（1）求實數a的值；
（2）若函數g（x）為減函數，求實數λ的取值范圍；
（3）若函數g（x）的最大值為，求實數λ的值．

Answer 1

解：（1）由f（a+2）=18，得3^a+2=18，即3^a=2，所以a=log₃2（2分）
（2）把a=log₃2代入，解得：g（x）=λ•3^ax-4^x=λ•2^x-4^x，設0≤x₁＜x₂≤1，
∵g（x）在[0，1]上是單調遞減函數，
∴g（x₂）-g（x₁）＜0在[0，1]上恒成立（6分）
即在[0，1]上恒成立，
即恒成立（8分）
∵，
∴實數λ的取值范圍是λ≤2（10分）
（3）設t=2^x，則t∈[1，2]，
則φ（t）=-t²+λt在t∈[1，2]上的最大值為（11分）
∴φ（t）的對稱軸t=，分三種情況：
①當，即λ＞4時，由，
解得（舍去）（12分）
②當，即λ＜2時，由，
解得（13分）
③當，即2≤λ≤4時，由，
解得（均舍去）（15分）
綜上知，實數λ的值為（16分）
分析：（1）由f（a+2）=18列出關于a的方程，利用對數函數的性質求出a；
（2）把a的值代入g（x）的解析式，設0≤x₁＜x₂≤1，由減函數的定義知g（x₂）-g（x₁）＜0在[0，1]上恒成立，用分析法和指數函數的性質求出λ的范圍；
（3）設t=2^x，求出t∈[1，2]，則g（x）轉化為關于t的二次函數，即該函數在[1，2]上的最大值為，因對稱軸含有參數，需要討論與區(qū)間的關系，故分三種情況并結合二次函數的圖象求解．
點評：本題是難度大的有關函數性質的綜合題，考查了函數的單調性的定義應用和函數最值及其幾何意義，用了數形結合思想、分析法和換元法．