Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，點在函數(shù)的圖象上運動，直線與函數(shù)的圖象不相交，求點到直線距離的最小值；

（Ⅱ）討論函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，分析在什么情況下滿足距離最小，構(gòu)造等量關(guān)系式，求解，得到對應(yīng)的點的坐標(biāo)，之后應(yīng)用點到直線的距離公式進行求解即可；

（2）對函數(shù)求導(dǎo)，分情況討論函數(shù)的單調(diào)性，依次得出函數(shù)零點的個數(shù).

（Ⅰ）的定義域為，.

由題意，令，即.解得或（舍去）.

∵，∴到直線的距離為所求的最小值.

（Ⅱ）法一：

（1）當(dāng)時，，在上是增函數(shù).

∵.當(dāng)時，

∴，又，∴，故恰有一個零點.

（2）當(dāng)時，，得（舍去），所以沒有零點.

（3）當(dāng)時，令，得或（舍去）.

當(dāng)時，，當(dāng)時，.

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，.

①當(dāng)，即時，恰有1個零點.

②當(dāng)，即時，沒有零點.

③當(dāng)，即時，.

令，則，.

令，，

∴在上單調(diào)遞增，∴，

∴，∴.

∵，，∴有2個零點.

綜上，函數(shù)當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點；當(dāng)時，沒有零點.

（Ⅱ）法二：若，則（且）.

設(shè)（且），.問題轉(zhuǎn)化為討論的圖象與直線交點的個數(shù).

（且）.令得.

當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

∴在，上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，.

又時.當(dāng)時，.∴當(dāng)或即或時，直線與函數(shù)的圖象有1個交點；當(dāng)，即時，有兩個交點；當(dāng)時沒有交點.

所以函數(shù)當(dāng)或時有1個零點；

當(dāng)時有2個零點；

當(dāng)時沒有零點.