Question

已知函數(shù)f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的兩個極值點分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），點P（m，n）表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù)y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的兩個極值點分別為x₁，x₂，可知：y′=x2+mx+

m+n

2

=0的兩根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：
（x₁-1）（x₂-1）=

m+n

2

+m+1＜0，得到平面區(qū)域D，且m＜-1，n＞1．由于y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，可得

lg3

lga

＞1，進(jìn)而得出．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的兩個極值點分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
∴y′=x2+mx+

m+n

2

=0的兩根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂，
則x₁+x₂=-m，x₁x₂=

m+n

2

＞0，
（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=

m+n

2

+m+1＜0，
即n+3m+2＜0，
∴-m＜n＜-3m-2，為平面區(qū)域D，
∴m＜-1，n＞1．
∵y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，
∴l(xiāng)og_a（-1+4）＞1，∴

lg3

lga

＞1，
∵a＞1，∴l(xiāng)ga＞0，
∴1g3＞lga．
解得1＜a＜3．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、線性規(guī)劃、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．