Question

5．點(diǎn)M（3，2）到拋物線C：y=ax²（a＞0）準(zhǔn)線的距離為4，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)N（l，l），當(dāng)點(diǎn)P在直線l：x-y=2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{|PN|-1}{|PF|}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3-2\sqrt{2}}{8}$
• B． $\frac{2-\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{5-2\sqrt{2}}{8}$
• D． $\frac{5-2\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 先求出拋物線的方程，設(shè)AP=t，則AN=$\sqrt{2}$，AF=2$\sqrt{2}$，PN=$\sqrt{{t}^{2}+2}$，PF=$\sqrt{{t}^{2}+8}$，再表示$\frac{|PN|-1}{|PF|}$，利用換元法，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)M（3，2）到拋物線C：y=ax²（a＞0）準(zhǔn)線的距離為4，
∴2+$\frac{1}{4a}$=4，∴a=$\frac{1}{8}$，∴拋物線C：x²=8y，
直線l：x-y=2與x軸交于A（2，0），則FA⊥l．
設(shè)AP=t，則AN=$\sqrt{2}$，AF=2$\sqrt{2}$，PN=$\sqrt{{t}^{2}+2}$，PF=$\sqrt{{t}^{2}+8}$，
設(shè)$\sqrt{{t}^{2}+2}$-1=m（m≥$\sqrt{2}$-1），則$\frac{|PN|-1}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+2}-1}{\sqrt{{t}^{2}+8}}$=$\frac{m}{\sqrt{（m+1）^{2}+6}}$=$\frac{1}{\sqrt{7（\frac{1}{m}+\frac{1}{7}）^{2}+\frac{6}{7}}}$，
∴m=$\sqrt{2}$-1，即t=0時(shí)，$\frac{|PN|-1}{|PF|}$的最小值為$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查$\frac{|PN|-1}{|PF|}$的最小值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．