Question

已知f（x）在定義域R是偶函數(shù)，f（1）=0，當x＞0時有xf′（x）+f（x）＞0則x²f（x）＞0的解集為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：判斷函數(shù)g（x）=xf（x），（0，+∞）單調(diào)遞增．求解f（x）＞0時，x＞1或x＜-1，即可得到x²f（x）＞0的解集．

解答： 解：∵f（x）在定義域R是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）=f（|x|），
∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
∵xf′（x）+f（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
∴g（1）=0，g（x）＞0，則f（x）＞0，x＞1，
∵f（x）在定義域R是偶函數(shù)，
∴x＜-1時，f（x）＞0，
∴f（x）＞0時，x＞1或x＜-1，
∴x²f（x）＞0，即為f（x）＞0，
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，解抽象不等式，屬于中檔題．