Question

已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/10/29/02/2014102902015030937205.files/image135.gif'>，

（1）當(dāng)時，函數(shù)，，．

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/10/29/02/2014102902015030937205.files/image142.gif'>．

1.當(dāng)時，在上恒成立，

則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減．

2.當(dāng)時，，

（�。┤�，

由，即，得或；

由，即，得．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為．  

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調(diào)遞增．  

（Ⅲ））因?yàn)榇嬖谝粋�使得，

則，等價于.

令，等價于“當(dāng) 時，”.

對求導(dǎo)，得.

因?yàn)楫?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.

所以，因此.  

另解：設(shè)，定義域?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/10/29/02/2014102902015030937205.files/image135.gif'>，

.

依題意，至少存在一個，使得成立，

等價于當(dāng) 時，.  

（1）當(dāng)時，

在恒成立，所以在單調(diào)遞減，只要，

則不滿足題意.……   12分

（2）當(dāng)時，令得.

（�。┊�(dāng)，即時，

在上，所以在上單調(diào)遞增，

所以，由得，，所以.

（ⅱ）當(dāng)，即時，

在上，所以在單調(diào)遞減，

所以，由得

（ⅲ）當(dāng)，即時， 在上，在上，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，等價于或，解得，所以，. 分

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.