【題目】已知函數,.
(1)討論的單調性;
(2)若有兩個極值點,,且,證明:.
【答案】(1) 見解析.
(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)先求導數,再根據二次方程 =0根得情況分類討論:當時,.∴在上單調遞減. 當時,根據兩根大小再分類討論對應單調區(qū)間, (2)先化簡不等式消m得,再利用導數研究,單調性,得其最小值大于-1,即證得結果.
詳解:(1)由,得
,.
設,.
當時,即時,,.
∴在上單調遞減.
當時,即時,
令,得,,.
當時,,
在上,,在上,,
∴在上單調遞增,在上單調遞減.
綜上,當時,在上單調遞減,
當時,在,上單調遞減,在上單調遞增,
當時,在上單調遞增,在上單調遞減.
(2)∵有兩個極值點,,且,
∴由(1)知有兩個不同的零點,,
,,且,此時,,
要證明,只要證明.
∵,∴只要證明成立.
∵,∴.
設,,
則,
當時,,
∴在上單調遞增,
∴,即,
∴有兩個極值點,,且時,.
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【題目】定義在上的函數滿足.當時,,當時,,則f(1)+f(2)+…+f(2015)=( )
A. 333 B. 336 C. 1678 D. 2015
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【題目】下列說法正確的是()
A. 銳角是第一象限的角,所以第一象限的角都是銳角;
B. 如果向量,則;
C. 在中,記,,則向量與可以作為平面ABC內的一組基底;
D. 若,都是單位向量,則.
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【題目】已知數列的前項和為,且,.
(1)求數列的通項公式;
(2)已知,記(且),是否存在這樣的常數,使得數列是常數列,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(3)若數列,對于任意的正整數,均有成立,求證:數列是等差數列.
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【題目】某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目.經測算該項目月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數關系可以近似地表示為:,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價值為元,若該項目不獲利,政府將給予補貼.
(1)當時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?
(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
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【題目】如圖所示,在直角坐標系中,點到拋物線的準線的距離為.點是上的定點,,是上的兩動點,且線段的中點在直線上.
(Ⅰ)求曲線的方程及的值;
(Ⅱ)記,求的最大值.
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【題目】設為正整數,集合(),對于集合中的任意元素和,記.
(1)當時,若,,求和的值;
(2)當時,設是的子集,且滿足:對于中的任意元素、,當、相同時,是奇數,當、不同時,是偶數,求集合中元素個數的最大值.
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