Question

（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形的三邊所在直線的斜率滿足．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，且，直線與交于點(diǎn)M，試探
究：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是否為定值？并說明理由．

Answer 1

（1）（且）；（2）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．

第一問利用已知的斜率關(guān)系式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得到軌跡方程。
第二問中，由由可知直線，則，然后設(shè)出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，然后表示一個(gè)關(guān)系式，然后利用由三點(diǎn)共線可知，同理得到關(guān)系式，聯(lián)立解得。
解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由得

，　　…………2分
整理得軌跡的方程為（且），                    …………4分
（Ⅱ）設(shè)，
由可知直線，則，
故，即，　　…………6分
由三點(diǎn)共線可知，與共線，
∴　，
由（Ⅰ）知，故，              …………8分
同理，由與共線，
∴　，即，
由（Ⅰ）知，故，                  …………10分
將，代入上式得，
整理得，
由得，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．         ………………………12分
（方法二）
設(shè)
由可知直線，則，
故，即，　　                         …………6分
∴直線OP方程為：   ①；　                        　 …………8分
直線QA的斜率為：，　　            
∴直線QA方程為：，即  ②；……10分
聯(lián)立①②，得，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．　  ………………………12分