Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x＞0時，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=3^0.2•f（3^0.2），b=（log_π2）•f（log_π2），c=(log2

1

4

)•f (log2

1

4

)，則a，b，c間的大小關系（　�。�

• A、c＞b＞a
• B、c＞a＞b
• C、b＞a＞c
• D、a＞c＞b

Answer 1

考點：對數(shù)值大小的比較,對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），由于當x＞0時，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，利用導數(shù)可得當x＞0時，函數(shù)
g（x）單調(diào)遞減．函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得函數(shù)g（x）在R上是奇函數(shù)．進而得到g（x）在R上是減函數(shù)．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．
當x＞0時，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，
∴當x＞0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴g（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-g（x），
∴g（x）在R上是奇函數(shù)．
∴g（x）在R上是減函數(shù)．
∵a=3^0.2•f（3^0.2），b=（log_π2）•f（log_π2），c=(log2

1

4

)•f (log2

1

4

)，
log2

1

4

=-2．
-2＜logπ2＜30.2，
∴c＞b＞a．
故選：A．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)及其單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．