Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，且當x＞0時，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=3^0.2•f（3^0.2），b=（log_π2）•f（log_π2），c=(log2

1

4

)•f (log2

1

4

)，則a，b，c間的大小關系（　�。�

• A、c＞b＞a
• B、c＞a＞b
• C、b＞a＞c
• D、a＞c＞b

Answer 1

考點：對數值大小的比較,對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：構造函數g（x）=xf（x），由于當x＞0時，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，利用導數可得當x＞0時，函數
g（x）單調遞減．函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，可得函數g（x）在R上是奇函數．進而得到g（x）在R上是減函數．

解答： 解：構造函數g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．
當x＞0時，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，
∴當x＞0時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．
∵函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，
∴g（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-g（x），
∴g（x）在R上是奇函數．
∴g（x）在R上是減函數．
∵a=3^0.2•f（3^0.2），b=（log_π2）•f（log_π2），c=(log2

1

4

)•f (log2

1

4

)，
log2

1

4

=-2．
-2＜logπ2＜30.2，
∴c＞b＞a．
故選：A．

點評：本題考查了函數的奇偶性、利用導數研究函數的單調性、對數的運算性質及其單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．