8.(文)如圖,四邊形ABCD是梯形,四邊形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=12CD.M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)試確定點(diǎn)M的位置,使AC∥平面DMF,并說明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求三棱錐F-DEM與幾何體ADE-BCF的體積之比.

分析 (Ⅰ)取AE中點(diǎn)M,連結(jié)CE,交DF于N,連結(jié)MN,由三角形中位線定理可得MN∥AC,再由線面平行的判定可得AC∥平面MDF;
(Ⅱ)將幾何體ADE-BCF補(bǔ)成三棱柱ADE-B′CF,由幾何體ADE-BCF的體積VADE-BCF=V三棱柱ADE-BCF-VF-BB'C求得幾何體ADE-BCF的體積,由棱錐體積公式求出三棱錐F-DEM的體積,作比得答案.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí),AC∥平面MDF.
證明如下:
連結(jié)CE,交DF于N,連結(jié)MN,
由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn),
∴MN∥AC,
由于MN?平面MDF,又AC?平面MDF,
∴AC∥平面MDF;
(Ⅱ)如圖,將幾何體ADE-BCF補(bǔ)成三棱柱ADE-B′CF,
三棱柱ADE-B′CF的體積為V=${S}_{△ADE}•CD=\frac{1}{2}×1×1×2=1$,
則幾何體ADE-BCF的體積VADE-BCF=V三棱柱ADE-BCF-VF-BB'C=1-$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{2}×1×1$)×1=$\frac{5}{6}$.
三棱錐F-DEM的體積V三棱錐M-DEF=$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{2}×1×2$)×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$,
故兩部分的體積之比為$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.

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