Question

{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），求和T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=a_n-1+2（n≥2，n∈N^*）得a_n-a_n-1=2，根據(jù)等差數(shù)列的定義得：數(shù)列{a_n}是以2為首項、公差的等差數(shù)列，求出a_n、

1

anan+1

，利用裂項相消法求出T_n．

解答： 解：由題意得，a_n=a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），則a_n-a_n-1=2，
又a₁=2，所以數(shù)列{a_n}是以2為首項、公差的等差數(shù)列，
則a_n=2+（n-1）×2=2n，
所以

1

anan+1

=

1

2n(2n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
則T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．

點評：本題考查了遞推公式的靈活應(yīng)用，等差數(shù)列的證明方法，以及裂項相消法求數(shù)列的和，