Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}對任意的m，n∈N^*，都有a_n+m=a_na_m，滿足a₂+a₄=20，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，公差d≠0，若b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，以及{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=b_nS_n-1，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}對任意的m，n∈N^*，都有a_n+m=a_na_m，令m=1，則a_n+1=a_n•a₁，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為a₁，利用a₂+a₄=20，解得a₁=2=q．即可得出S_n．由于數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，公差d≠0，b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列．

b

2 3

=b1b9，代入解出即可．
（2）c_n=b_nS_n-1=n•2ⁿ-2n．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式、“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）∵各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}對任意的m，n∈N^*，都有a_n+m=a_na_m，
令m=1，則a_n+1=a_n•a₁，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為a₁，
∵滿足a₂+a₄=20，
∴

a

2 1

+

a

4 1

=20，
解得

a

2 1

=4，
a₁＞0，∴a₁=2=q．
∴S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，公差d≠0，b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列．
∴

b

2 3

=b1b9，
∴（1+2d）²=1×（1+8d），
化為d²-d=0，
解得d=1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
（2）c_n=b_nS_n-1=n•（2ⁿ-2）=n•2ⁿ-2n．
設(shè)G_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2G_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
相減可得：-G_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴G_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2-2×

n(n+1)

2

=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2-n²-n，

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．