Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值.

（1）求的值；

（2）若對(duì)任意的，都有成立（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），求實(shí)數(shù)的最小值；

（3）證明：（）.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的意義即可求解；（2）求導(dǎo)，對(duì)的取值分類討論即可求解；（3）利用（2）中的結(jié)論構(gòu)造不等式，累加即可求解.

試題解析：（1）由題設(shè)可得，∵在處取得極值，

∴，即，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)知，，滿足題設(shè)條件；

（2）由（1）得，∴，∴在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，

，，設(shè)，

①當(dāng)，即時(shí)，，∴，在上單調(diào)遞增，

∴，即當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件，

②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，

由可知，由題設(shè)可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，即時(shí)，對(duì)任意的有，即在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴時(shí)，也滿足題設(shè)條件，綜上，的取值范圍為，∴實(shí)數(shù)的最小值為；（3）證明：由（2）知，當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令（），得，

∴當(dāng)且時(shí)，

當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立，∴原不等式得證.