Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，記與的等差中項(xiàng)為。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）設(shè)集合，等差數(shù)列的任意一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，且，求的通項(xiàng)公式。

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）。

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，可得，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）先確定數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和；（III）先確定，再確定是公差為的倍數(shù)的等差數(shù)列，利用，可得，由此可得的通項(xiàng)公式。

試題解析：（I）點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，,當(dāng)時(shí)， 當(dāng)ｎ＝1時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。

（II）∵為與的等差中項(xiàng)

∴

①

由①×4，得

①-②得：

，

。

（III）∵

∴

∵，是中的最小數(shù)，。

是公差為的倍數(shù)的等差數(shù)列，。

又，

,解得.所以，

設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，

，∴。