Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若存在實數(shù)使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）把函數(shù)化簡為，這個分段函數(shù)是由兩個二次函數(shù)構成，右邊是開口向上的拋物線的一部分，對稱軸是，左邊是開口向下的拋物線的一部分，對稱軸是，為了使函數(shù)為增函數(shù)，因此有；（2）方程有三個不相等的實數(shù)根，就是函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，為此研究函數(shù)的單調(diào)性，由（1）知當時，在上單調(diào)遞增，不合題意，當時，，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，關于的方程有三個不相等的實數(shù)根的條件是， 由此有，因為，則有，由于題中是存在，故只要大于1且小于的最大值；當時同理討論即可．

試題解析：（1），

當時，的對稱軸為：；

當時，的對稱軸為：；

∴當時，在R上是增函數(shù)，

即時，函數(shù)在上是增函數(shù)；

（2）方程的解即為方程的解．

①當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴關于的方程不可能有三個不相等的實數(shù)根；

②當時，即，

∴在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數(shù)根；即，

∵∴．

設，

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，

∴，

又可證在上單調(diào)增

∴∴；

③當時，即，∴在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數(shù)根；

即，∵∴，設

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，

∴，又可證在上單調(diào)減∴

∴；

綜上：．