Question

已知圓C：（x+2）²+（y-b）²=3（b＞0）過點(diǎn)（-2+

2

，0），直線l：y=x+m（m∈R）．
（1）求b的值；
（2）若直線l與圓C相切，求m的值；
（3）若直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由題，圓C：（x+2）²+（y-b）²=3（b＞0）過點(diǎn)（-2+

2

，0），代入求b的值；
（2）若直線l與圓C相切，圓心C（-2，1）到直線l的距離等于圓C的半徑

3

，即可求m的值；
（3）先把直線與圓的方程聯(lián)立消去y，因?yàn)镺M⊥ON得到x₁x₂+y₁y₂=0，然后利用根于系數(shù)的關(guān)系求出m即可．

解答： 解：（1）由題，圓C：（x+2）²+（y-b）²=3（b＞0）過點(diǎn)（-2+

2

，0），則
（-2+

2

+2）²+（0-b）²=3（b＞0），…（2分）
解得：b=1　　                      　…（4分）
（2）因?yàn)橹本�l與圓C相切，
所以圓心C（-2，1）到直線l的距離等于圓C的半徑

3

即：

|-2-1+m|

2

=

3

    …（6分）
解得：m=3±

6

                …（7分）
（3）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由直線代入圓的方程，消去y得：2x²+2（m+1）x+m²-2m+2=0，…（8分）
所以x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=

m2-2m+2

2

，
因?yàn)镺M⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0
所以m²-3m+2=0，
解得：m=1，或m=2      …（13分）
檢驗(yàn)可知：它們滿足△＞0，
故所求m的值為1或2…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題是一道直線與圓的方程的綜合題，主要考查學(xué)生對(duì)圓標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)，會(huì)利用根與系數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學(xué)問題．