Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，1+a₃成等比數(shù)列．
（I）求{a_n}的通項(xiàng)公式；（II）記bn=

1

anan+1

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）直接由S₃=12以及2a₁，a₂，1+a₃成等比數(shù)列，列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的等式，解方程即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）先把數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)裂開，再求和即可．

解答：解：（I）由題得：

2a1(a3+1)=a22 a1+a2+a3=12

即

a1(a1+2d+1) =8 a1+d=4

，得d²+d-12=0．
∵d＞0，∴d=3，a₁=1．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）∵b_n=

1

an•an+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及裂項(xiàng)求和的應(yīng)用．第一問(wèn)考查方程思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用．在等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題中基本量是解題的關(guān)鍵，一般是根據(jù)已知條件把基本量求出來(lái)，然后在解決問(wèn)題．