Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n（）ⁿ，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n、m均有|b_n-b_m|＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明數(shù)列{}為等差數(shù)列，我們可以根據(jù)a_n+1=，判斷的值，是否是一個(gè)常數(shù)；
（2）由（1）的結(jié)論，我們易給出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后利用放縮法對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明；
（3）由（2）中數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，我們根據(jù)b_n=a_n（）ⁿ，不難給出{b_n}的通項(xiàng)公式，分析數(shù)列{b_n}的單調(diào)性，不難給出|b_n-b_m|的取值范圍，進(jìn)而得到|b_n-b_m|＜．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183623856386565/SYS201310241836238563865021_DA/5.png">，
即
所以數(shù)列{}為等差數(shù)列
（Ⅱ）由（1）知：+（n-1）×（-1）=-n
所以a_n=1-
設(shè)f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），則f′（x）=1-＞0
∴f（x）在（0，+∞）為遞增函數(shù)，且f（x）在[0，+∞]上連續(xù)．
∴f（x）＞f（0）=0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，x＞ln（x+1）成立．
所以ln（1+）＜，1-＜1-ln（1+）
所以a_n=1-＜1-ln（n+1）+lnn
所以S_n＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）++[1-ln（n+1）+lnn]
即S_n＜n-ln（n+1）
（Ⅲ）因?yàn)閎_n=×（）ⁿ，
當(dāng)=××=×，
當(dāng)=×＞1，n＞，即n≥4
當(dāng)=×＜1，n＜，即n≤3．
所以b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞
又因?yàn)閚≥2時(shí)，b_n＞0，并且b₁=0，所以0≤b_n≤b₄
對(duì)任意的正整數(shù)n、m，均有|b_n-b_m|的最大值為
b₄-b₁=×（）⁴-0=＜=
所以對(duì)任意的正整數(shù)n、m，均有|b_n-b_m|＜
點(diǎn)評(píng)：要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項(xiàng)法，判斷是否每一項(xiàng)都是其前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差（比）中項(xiàng)；③通項(xiàng)公式法，判斷其通項(xiàng)公式是否為一次（指數(shù)）型函數(shù)；④前n項(xiàng)和公式法．