設(shè)f（x）=（x2-2x+2-a2）ex，
（1）討論該函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（a）為函數(shù)f（x）的極大值，證明：g（a）＜2．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可討論該函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明g（a）是偶函數(shù)，再證明g（a）＜2．
解答： （1）解：∵f（x）=（x2-2x+2-a2）ex，
∴f′（x）=（x-a）（x+a）ex，
①a＞0，由f′（x）＞0，可得x＜-a或x＞a，由f′（x）＜0，可得-a＜x＜a；
②a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜a或x＞-a，由f′（x）＜0，可得a＜x＜-a；
③a=0，函數(shù)在R上遞增，
綜上，a＞0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，a）；a＜0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a），（-a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（a，-a）；a=0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）證明：由（1）知g（a）=
2(a+1)e-a，a＞0
2(-a+1)ea，a＜0
，
∵g（-a）=
2(-a+1)ea，a＜0
2(a+1)e-a，a＞0
=g（a），
∴g（a）是偶函數(shù)，
a＜0時(shí)，g（a）=2（-a+1）ea，g′（a）=-2aea＞0，
∴g（a）在（-∞，0）上為增函數(shù)，∴g（a）＜2，
a＞0時(shí)，g（a）=g（-a）＜2，
綜上，g（a）＜2．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，做題時(shí)要注意對(duì)a進(jìn)行討論，最后得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）=
3
sin（
π
6
+x）+cos（
π
6
+x），則函數(shù)f（x）應(yīng)滿足（　�。�
A、函數(shù)y=f（x）在[-
5
6
π，
π
6
]上遞增，且有一個(gè)對(duì)稱中心（
π
6
，0）
B、函數(shù)y=f（x）在[-
3
4
π，
π
6
]上遞增，且有一個(gè)對(duì)稱中心（-
π
3
，0）
C、函數(shù)y=f（x）在[-
5
6
π，
π
6
]上遞減，且有一個(gè)對(duì)稱中心（-
π
3
，0）
D、函數(shù)y=f（x）在[-
3
4
π，
π
6
]上遞減，且有一個(gè)對(duì)稱中心（
π
6
，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)互不相等的平面向量組ai（i=1，2，3，…），滿足①|(zhì)ai|=1；②ai•ai+1=0．若Tm=a1+a2+…+am（m≥2），則|Tm|的取值集合為（　�。�
A、{0，
2
}
B、{1，
3
}
C、{1，
2
，
3
}
D、{0，1，
2
}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，-π＜φ＜π）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）求方程f（x）=1的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
a
x
，g（x）=f（x）-ax+4lnx．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x2-mx+4，當(dāng)f（x）在x=2處取得極值時(shí)，對(duì)任意x1∈[1，2]，總存在x2∈（1，3），使得h（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
a(x-1)
x+1
（a∈R，a≠0），g（x）=x2+x．
（1）求函數(shù)h（x）=alnx-
a(x-1)
x+1
•g（x）的單調(diào)區(qū)間，并確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）證明不等式 
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n+1
＜ln
n+1
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x≤-3或x≥2}，B={x|1＜x＜5}．求A∩B和（∁RA）∪B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2
3
x3-2ax2-3x．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程；
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx-3a-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解關(guān)于x的不等式：|x+2|+|x+3|＞3．

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