Question

tanα=-

1

3

，cosβ=

5

5

，α，β∈（0，π），求：
（1）tan（α+β）；
（2）求

2

sin(

π

6

-α)+cos(

π

6

+β)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由cosβ的值及β的范圍求出sinβ的值，得到tanβ的值，再由tanα的值，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）由tanα的值及α的范圍求出sinα與cosα的值，原式利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（1）∵cosβ=

5

5

，β∈（0，π），
∴sinβ=

1-cos2β

=

2 5

5

，tanβ=

sinβ

cosβ

=2，
∵tanα=-

1

3

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

- 1 3 +2

1+ 2 3

=1；
（2）∵tanα=-

1

3

，α∈（0，π），
∴cosα=-

1 1+tan2α

=-

3 10

10

，sinα=

1-cos2α

=

10

10

，
原式=

2

（

1

2

cosα-

3

2

sinα）+

3

2

cosβ-

1

2

sinβ
=

2

2

×（-

3 10

10

）-

6

2

×

10

10

+

3

2

×

5

5

-

1

2

×

2 5

5

=-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．