Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若，不等式恒成立，求a的取值范圍；

（2）解關(guān)于x的方程；

（3）設(shè)函數(shù)，求時的最小值．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題、分段函數(shù)、函數(shù)圖象等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力，考查分類討論思想. 第一問，先對求導(dǎo)，得到，將，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在時恒成立，利用x的取值范圍得到的最大值，從而得到a的取值范圍；第二問，先得到的方程，利用零點分段法去掉絕對值符號，通過對a的范圍的討論來解方程；第三問，先對

中的1和的大小進行討論，分別得到的解析式，在每一種情況下利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)得到函數(shù)的最小值.

試題解析：（1）∵，∴， 1分

又∵，知

∴在時恒成立，∵， 2分

∴． 3分

⑵∵，∴，

∴，∴或． 4分

①當時，，∴或； 5分

②當時，或，

∴或或； 6分

③當時，，∴或． 7分

⑶∵，

①若，則時，，∴，

從而的最小值為； 9分

②若，則時，，∴，

當時，的最小值為，

當時，的最小值為，

當時，的最小值為． 11分

③若，則時，

當時，最小值為；

當時，最小值為．

∵，，

∴最小值為． 13分

綜上所述， 14分

考點：導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題、分段函數(shù)、函數(shù)圖象.