已知常數(shù)a>0，n為正整數(shù)，fn（x）=xn-（x+a）n（x>0）是關(guān)于x的函數(shù)，
（1）判定函數(shù)fn（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）對任意n≥a，證明fn+1′（n+1）<（n+1）fn′（n）。
解：（1）fn′（x）=nxn-1-n（x+a）n-1=n[xn-1-（x+a）n-1]，
∵a>0，x>0，
∴fn′（x）<0，
∴fn（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減。
（2）由上知：當(dāng)x>a>0時，fn（x）=xn-（x+a）n是關(guān)于x的減函數(shù)，
∴當(dāng)n≥a時，有：（n+1）n-（n+1+a）n≤nn-（n+a）n，
又∵fn+1′（x）=（n+1）[xn-（x+a）n]，
∴fn+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）n-（n+1+a）n]<（n+1）[nn-（n+a）n]
=（n+1）[nn-（n+a）（n+a）n-1]
（n+1）fn′（n）=（n+1）n[nn-1-（n+a）n-1]=（n+1）[nn-n（n+a）n-1]，
∵（n+a）>n，
∴fn+1′（n+1）<（n+1）fn′（n）。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分12分)已知常數(shù)a > 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2) 對任意n ?? a , 證明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（03年新課程高考）已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R.試問：是否存在兩個定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天津高考真題 題型：解答題

已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以i-2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R，試問：是否存在兩個定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值。若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分6分）

已知函數(shù),( a>0 ,a≠1,a為常數(shù))

(1).當(dāng)a=2時，求f(x)的定義域；

(2).當(dāng)a>1時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(3).當(dāng)a>1時，若f(x)在上恒取正值，求a應(yīng)滿足的條件。

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