Question

邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，其內(nèi)切圓與邊BC切于點(diǎn)E、F為內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，則

AE

•

AF

取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：先設(shè)出點(diǎn)A以及點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出其它各點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出

AE

•

AF

，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域內(nèi)求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可．

解答： 解：可設(shè)點(diǎn)A（0，0），則B（2，0），C（2，2），D（0，2），
E（2，1），
設(shè)F（x，y），則 （x-1）²+（y-1）²=1，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域
為如圖所示的圓：
因?yàn)?span id="jmwgnqb" class="MathJye">

AE

=（2，1），

AF

=（x，y）．∴

AE

•

AF

=2x+y．
令z=2x+y，本題即求z的范圍．
當(dāng)直線(xiàn)z=2x+y 和圓相切時(shí)，由1=

|2+1-z|

5

，
求得z=3+

5

，或z=3-

5

，
故z的范圍為[3-

5

，3+

5

]，
故答案為：[3-

5

，3+

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想的考查，屬于基礎(chǔ)題