Question

【題目】已知函數(shù)的圖像在上連續(xù)不斷，定義：

（），（），其中表示函數(shù)在上的最小值， 表示函數(shù)在上的最大值，若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”.

（1）若， ，試寫(xiě)出， 的表達(dá)式；

（2）已知函數(shù)， ，判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）已知，函數(shù)，是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.

數(shù)學(xué)附加題

Answer 1

【答案】(1) ， ， ， . (2) .即存在，使得 是 上的“4階收縮函數(shù)”. (3)

【解析】試題分析：（1）根據(jù)的最大值可求出， 的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)， 上的值域，先求出， 的解析式，再根據(jù)求出k的取值范圍得到答案.(3)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而寫(xiě)出， 的解析式，然后再由求出k的取值范圍.

試題解析：

（1）由題意可得： ， ， ， .

（2）， ，

當(dāng)時(shí)， ，∴， ；

當(dāng)時(shí)， ，∴，∴；

當(dāng)時(shí)， ，∴，

綜上所述， .即存在，使得是上的“4階收縮函數(shù)”.

（3），令得或.函數(shù)的變化情況如下：

令得或.

（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，因此， ， .因?yàn)?/span>是上的“二階收縮函數(shù)”，所以，

①，對(duì)恒成立；

②存在，使得成立.

①即： 對(duì)恒成立，由解得或.

要使對(duì)恒成立，需且只需.

②即：存在，使得成立.

由解得或.所以，只需.

綜合①②可得

（2）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此， ， ， ， ，顯然當(dāng)時(shí)， 不成立，

（3）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此， ， ， ， ，顯然當(dāng)時(shí)， 不成立.

綜合（1）（2）（3）可得： .