Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DC⊥平面ABC，DC∥BE，CD=BE，AB=4，tan∠EAB=

1

4

．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）試探究當(dāng)C在什么位置時(shí)三棱錐C-ADE的體積取得最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出四邊形BCDE是平行四邊形，由此能證明平面ADE⊥平面ACD．
（2）當(dāng)C為半圓弧中點(diǎn)時(shí)三棱錐C-ADE的體積取得最大值，最大值為

4

3

．

解答： （1）證明：因?yàn)锳B是直徑，所以BC⊥AC，
因?yàn)镃D⊥平面ABC，CD⊥BC，
因?yàn)镃D∩AC=C，所以BC⊥平面ACD
因?yàn)镃D∥BE，又因?yàn)镃D=BE，
所以四邊形BCDE是平行四邊形，
所以BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，
因?yàn)镈E?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD．
（2）解：依題意，EB=AB×tan∠EAB=4×

1

4

=1，
由（1）知VC-ADE=VE-ACD=

1

3

×S△ACD×DE
=

1

3

×

1

2

×AC×CD×DE
=

1

6

×AC×BC
≤

1

12

×(AC2+BC2)=

1

12

×AB2=

4

3

，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2

2

時(shí)成立，
所以當(dāng)C為半圓弧中點(diǎn)時(shí)三棱錐C-ADE的
體積取得最大值，最大值為

4

3

．
此時(shí)，AD=

12+(2 2 )2

=3，S△ADE=

1

2

×AD×DE=3

2

，
設(shè)三棱錐C-ADE的高為h，
則VC-ADE=

1

3

×S△ADE×h=

4

3

，h=

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．