Question

甲、乙兩同學進行投籃比賽，每一簡每人各投兩次球，規(guī)定進球數(shù)多者該局獲勝，進球數(shù)相同則為平局．已知甲每次投進的概率為

2

3

乙每次投進的概率為1/2，甲、乙之間的投籃相互獨立．
（1）求甲、乙兩同學進行一扃比賽的結果不是平局的概率；
（2）設3局比賽中，甲每局進兩球獲勝的局數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）設“一局比賽出現(xiàn)平局”為事件A，則P（A）=(

1

3

)2•(

1

2

)2+C₂¹•

2

3

•

1

3

•C₂¹•(

1

2

)2+(

2

3

)2•(

1

2

)2=

13

36

，再由對立事件的概率能求出一局比賽的結果不是平局的概率．
（2）設“在一局比賽中甲進兩球獲勝”為事件B．因為ξ可取0，1，2，3，所以P（ξ=0）=

8

27

，P（ξ=1）=

4

9

，P（ξ=2）=

2

9

，P（ξ=3）=

1

27

．由此能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（1）設“一局比賽出現(xiàn)平局”為事件A，
則P（A）=(

1

3

)2•(

1

2

)2+C₂¹•

2

3

•

1

3

•C₂¹•(

1

2

)2+(

2

3

)2•(

1

2

)2=

13

36

，
所以P（

.

A

）=1-P（A）=

23

36

，即一局比賽的結果不是平局的概率為

23

36

．
（2）設“在一局比賽中甲進兩球獲勝”為事件B．
因為ξ可取0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=(

2

3

)3=

8

27

，P（ξ=1）=C₃¹•

1

3

•(

2

3

)2=

4

9

，
P（ξ=2）=C₃²•(

1

3

)2•

2

3

=

2

9

，P（ξ=3）=(

1

3

)3=

1

27

．
分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解（1）題時要注意對立事件的概率的運用，解（2）題時要注意n次獨立試驗恰好發(fā)生k次的概率公式的靈活運用．