Question

16．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形面積等于1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由橢圓方程可知：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，c=$\sqrt{5-4}$=1，由三角的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，代入橢圓方程得：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{1}{4}$=1，即可求得丨x丨=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦點(diǎn)，c=$\sqrt{5-4}$=1，
則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)P（x，y）是橢圓上的一點(diǎn)，
由三角的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，
將丨y丨=1代入橢圓方程得：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{1}{4}$=1，
解得：丨x丨=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，1））（-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，1）（$-\frac{{\sqrt{15}}}{2}，-1$）（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查三角形的面積公式，考查求得橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)的方法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．