Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對一切x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（2）=-4．
（1）求f（0）的值，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）解不等式：f（5x-7）+f（3-x）≤6．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0）的值，結合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調性的定義即可證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）根據函數(shù)奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化即可解不等式：f（5x-7）+f（3-x）≤6．

解答： 解：（1）令x=0，y=0，則f（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
令y=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)；
（2）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由已知f（x₂-x₁）＜0，
則f（x₂-x₁）=f[x₂-（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
則函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）∵f（2）=-4．
∴f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4．
即f（1）=-2，
∴f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-2-4=-6，
即f（-3）=-f（3）=6，
即不等式：f（5x-7）+f（3-x）≤6．
等價為f（5x-7）+f（3-x）≤f（-3）．
即f[（5x-7）+（3-x）]≤f（-3）．
則f（4x-4）≤f（-3）．
∵函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
∴4x-4≥-3．
解得x≥

1

4

，
即不等式的解集為[

1

4

，+∞）．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應用，以及函數(shù)單調性和奇偶性的判斷和應用，利用賦值法是解決本題的關鍵．