分析 函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”,則:①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù),②$\left\{\begin{array}{l}{f(m)=2m}\\{f(n)=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f(m)=2n}\\{f(n)=2m}\end{array}\right.$,對四個函數(shù)的單調(diào)性分別研究,從而確定是否存在“倍值區(qū)間”.
解答 解:函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”,則:①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù),②$\left\{\begin{array}{l}{f(m)=2m}\\{f(n)=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f(m)=2n}\\{f(n)=2m}\end{array}\right.$,
①f(x)=x2,若存在“倍值區(qū)間”[m,n],$\left\{\begin{array}{l}{f(m)=2m}\\{f(n)=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}\right.$,∴f(x)=x2,存在“倍值區(qū)間”[0,2];
②f(x)=$\frac{1}{x}$(x∈R),若存在“倍值區(qū)間”[m,n],當x>0時,$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=2n}\\{\frac{1}{n}=2m}\end{array}\right.$⇒mn=$\frac{1}{2}$,故只需mn=$\frac{1}{2}$即可,故存在;
③$f(x)=x+\frac{1}{x}$;當x>0時,在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,若存在“倍值區(qū)間”[m,n]⊆[0,1]⇒m+$\frac{1}{m}$=2n,n+$\frac{1}{n}$=2m⇒m2-2mn+1=0.n2-2mn+1=0
⇒m2=n2不符題意;若存在“倍值區(qū)間”[m,n]⊆[1,+∞)⇒m+$\frac{1}{m}$=2m,n+$\frac{1}{n}$=2n⇒m2=n2=1不符題意,故此函數(shù)不存在“倍值區(qū)間“;
④$f(x)=\frac{3x}{{{x^2}+1}}$.$f′(x)=\frac{3(1-x)(1+x)}{({x}^{2}+1)}$,當x∈[0,1]時,f′(x)>0,當x∈[1,+∞)時,f′(x)<0,在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,
若存在“倍值區(qū)間”[m,n]⊆[0,1],$\frac{3m}{{m}^{3}+1}=2m.\frac{3n}{{n}^{2}+1}=2n$,∴m=0,n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即存在“倍值區(qū)間”[0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$];
故答案為:①②④
點評 本題考查新定義,考查學生分析解決問題的能力,涉及到大量的函數(shù)知識及計算,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | x+y+1=0 | B. | x-y+1=0 | C. | x+y-1=0 | D. | x-y-1=0 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | a2<b2 | B. | $\sqrt{-a}<\sqrt$ | C. | $\frac{1}{a}<\frac{1}$ | D. | $\frac{a}$+$\frac{a}$≥2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 相交 | B. | 相切 | C. | 相離 | D. | 以上均有可能 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (1,2) | B. | (2,+∞) | C. | $(1,\;\sqrt{2})$ | D. | $(\sqrt{2},\;+∞)$ |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com