Question

（2009•東營一模）已知向量：

a

=（2sinωx，cos²ωx），向量

b

=（cosωx，2

3

），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=

a

•

b

，若f（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對任意實數(shù)x∈[

π

6

，

π

3

]，恒有|f（x）-m|＜2成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的數(shù)量積以及二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)表達式，求出函數(shù)的周期，即可求f（x）的解析式；
（2）通過x∈[

π

6

，

π

3

]，求出相位的范圍，確定函數(shù)的值域，然后利用|f（x）-m|＜2，得到m的關(guān)系式，求實數(shù)m的取值范圍

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=(2sinωx，cos2ωx)•(cosωx，2

3

)=sin2ωx+

3

(1+cos2ωx)
=2sin(2ωx+

π

3

)+

3

∵相鄰兩對稱軸的距離為π，∴

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

∴f(x)=2sin(x+

π

3

)+

3

（2）∵x∈[

π

6

，

π

3

]，∴x+

π

3

∈[

π

2

，

2π

3

]
∴2

3

≤f(x)≤2+

3

，
又∵|f（x）-m|＜2，∴-2+m＜f（x）＜2+m
若對任意x∈[

π

6

，

π

3

]，恒有|f(x)-m|＜2成立，則有

-2+m≤2 3 2+m≥2+ 3

解得

3

≤m≤4+2

3

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積，兩角和與差的三角函數(shù)二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．