Question

已知離心率為e的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線(xiàn)x²-y²=1有相同的焦點(diǎn)，且直線(xiàn)y=ex分別與橢圓相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)相交于C、D兩點(diǎn)，若C、O（坐標(biāo)原點(diǎn)）、D依次為線(xiàn)段AB的四等分點(diǎn)，則e=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意，求出橢圓半焦距c=

2

，得出a²與b²的關(guān)系以及離心率e的表示，由直線(xiàn)y=ex與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，
再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出a的值，即得橢圓的離心率e．

解答： 解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線(xiàn)x²-y²=1有相同的焦點(diǎn)，
∴c=

2

，
∴a²-b²=2；
∴e=

c

a

=

2

a

；
又直線(xiàn)y=ex與雙曲線(xiàn)相交于C、D兩點(diǎn)，
∴

y=ex x2-y2=1

，
即x²-e²x²=1，
解得x=±

1 1-e2

=±

a

a2-2

；
取x=

a

a2-2

，
則y=ex=

2

a

•

a

a2 -2

=

2

a2-2

，
∴點(diǎn)B（2x，2y）在橢圓上，
即

4a2

a2(a2-2)

+

8

(a2-2)(a2-2)

=1（*）；
設(shè)t=

1

a2-2

＞0，
則方程（*）化為4t+8t²=1，
解得t=

3 -1

4

，
∴a²-2=

4

3 -1

=2

3

+2，
∴a²=2

3

+4=(

3

+1)2，
解得a=

3

+1；
∴離心率為e=

c

a

=

2

3 +1

=

6 - 2

2

．
故答案為：

6 - 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．