Question

（文科）已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且a_n+1=2S_n+2ⁿ-1（n?N^*）
（1）設b_n=a_n+2ⁿ（n?N^*），證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設 Cn=

2n	(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)

（n∈N^*），求T_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

分析：1）由a_n+1=2S_n+2ⁿ⁺¹-1（n≥1），當n≥2時，a_n=2S_n-1+2ⁿ-1，兩式相減得a_n+1=3a_n+2ⁿ（n≥2）．從而b_n+1=3b_n（n≥2），可證
解：（2）由（1）得a_n=3ⁿ-2ⁿ，則cn=

2n

(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)

=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

=

1

1+2n

-

1

1+2n+1

，利用裂項相消可求和

解答：（1）證明：∵a_n+1=2S_n+2ⁿ⁺¹-1（n≥1），
當n≥2時，a_n=2S_n-1+2ⁿ-1，兩式相減得a_n+1=3a_n+2ⁿ（n≥2）．
從而b_n+1=a_n+1+2ⁿ⁺¹=3a_n+2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ）=3b_n（n≥2）．
∵S₂=3S₁+2²-1，即a₁+a₂=3a₁+3，∴a₂=2a₁+3=5，
∴b₂≠0，b_n≠0，
∴

b2

b1

=

a2+4

a1+2

=

9

3

=3．故

bn+1

bn

=3（n=1，2，3…）
∴數(shù)列{b_n}是公比為3，首項為3的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知，b_n=3•3^n-1=3ⁿ，b_n=a_n+2ⁿ得a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴cn=

2n

(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)

=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

，
則cn=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

=

1

1+2n

-

1

1+2n+1

．
∴c1+c2+…+cn=

1

1+21

-

1

1+22

+

1

1+22

-

1

1+23

+…+

1

1+2n

-

1

1+2n+1

=

1

3

-

1

1+2n+1

．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的定義的應用及通項公式的求解，裂項求解數(shù)列的和，屬于數(shù)列知識的綜合應用．