Question

已知向量

a

=(sinx，

3

4

)，

b

=(cosx，-1)．
（1）當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，求cos²x-sin2x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=2(

a

+

b

)•

b

，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，求f(x)+4cos(2A+

π

6

)(x∈[0，

π

4

])的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，以及兩向量平行列出關(guān)系式，整理求出tanx的值，所求式子變形后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，將tanx的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則確定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，確定出A的度數(shù)，代入所求式子，根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，進(jìn)而求出正弦函數(shù)的值域，即可確定出所求式子的范圍．

解答：解：（1）∵

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1），

a

∥

b

，
∴-sinx=

3

4

cosx，即tanx=-

3

4

，
則cos²x-sin2x=cos²x-2sinxcosx=

cos2x-2sinxcosx

cos2x+sin2x

=

1-2tanx

1+tan2x

=

1+2× 3 4

1+ 9 16

=

8

5

；
（2）f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2（sinxcosx+cos²x+

1

4

）=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
∵a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinA=

asinB

b

=

3 × 6 3

2

=

2

2

，
∵a＜b，∴A＜B，
∴A=

π

4

，
∴原式=

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，
∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
則

1

2

≤

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

≤

2

-

1

2

．即所求式子的范圍為[

1

2

，

2

-

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的恒等變換，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．