Question

某牛奶廠2008年初有資金1000萬元，由于引進了先進設備，資金年平均增長率可達到50%．每年年底扣除下一年的消費基金x萬元后，剩余資金投入再生產(chǎn)．
（1）分別寫出這家牛奶廠2009年初和2010年初投入再生產(chǎn)的剩余資金的表達式．
（2）預計2012年底，這家牛奶廠將轉向經(jīng)營，需資金2000萬元（該年底不再扣除下年的消費基金），當消費基金x不超過多少萬元時，才能實現(xiàn)轉向經(jīng)營的目標（精確到萬元）？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于引進了先進設備，資金年平均增長率可達到50%．每年年底扣除下一年的消費基金x萬元后，剩余資金投入再生產(chǎn)，可得2009年初和2010年初投入再生產(chǎn)的剩余資金的表達式．
（2）設從2008年底這家牛奶廠的資金組成數(shù)列為{a_n}，則這個數(shù)列滿足a₁=1 000•

3

2

-x，a_n+1=

3

2

a_n-x，可得數(shù)列{a_n-2x}是首項為1 000•

3

2

-3x，公比為

3

2

的等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項，利用a₅+x≥2 000，可得結論．

解答： 解：（1）2009年初的剩余資金為1 000•

3

2

-x；2010年初的剩余資金為（1 000•

3

2

-x）•

3

2

-x．
（2）設從2008年底這家牛奶廠的資金組成數(shù)列為{a_n}，
則這個數(shù)列滿足a₁=1 000•

3

2

-x，a_n+1=

3

2

a_n-x．
設a_n+1+λ=

3

2

（a_n+λ），展開與a_n+1=

3

2

a_n-x比較可得λ=-2x，
即a_n+1=

3

2

a_n-x可以變換為a_n+1-2x=

3

2

（a_n-2x），
即數(shù)列{a_n-2x}是首項為1 000•

3

2

-3x，公比為

3

2

的等比數(shù)列，
所以a_n-2x=（1 000•

3

2

-3x）•（

3

2

）^n-1，即a_n=2x+（1 000•

3

2

-3x）•（

3

2

）^n-1．
從2008年初到2012年底共計5年，
所以到2012年底該牛奶廠剩余資金
a₅=2x+（1 000•

3

2

-3x）•（

3

2

）⁴，只要a₅+x≥2 000，
即2x+（1 000•

3

2

-3x）•（

3

2

）⁴+x≥2 000即可，
解得x≤

17900

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≈458.97（萬元）．
故當消費基金不超過458萬元時，才能實現(xiàn)轉向經(jīng)營的目標．

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查數(shù)列模型，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．