Question

某地擬模仿圖甲建造一座大型體育館，其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲線AB是以點E為圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25，單位：米）；曲線BC是拋物線y=-ax²+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圓E的半徑．假定擬建體育館的高OB=50米．
（1）若要求CD=30米，AD=24

5

米，求t與a的值；
（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度DF不超過75米，求a的取值范圍；
（3）若a=

1

25

，求AD的最大值．
（參考公式：若f(x)=

a-x

，則f′(x)=-

1

2 a-x

）

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由CD=50-t=30，解得t=20．可得圓E：x²+（y-20）²=30²，令y=0，得|AO|，即可得出|OD|=|AD|-|AO|，將點C代入y=-ax²+50（a＞0）中，解得a即可．
（2）由于圓E的半徑為50-t，可得CD=50-t，在y=-ax²+50中，令y=50-t，得OD=

t a

，由題意知FD=50-t+

t a

≤75對t∈（0，25]恒成立，
即

1 a

≤

t

+

25

t

恒成立，利用基本不等式的性質(zhì)解出即可．
（3）當a=

1

25

時，OD=5

t

，又圓E的方程為x²+（y-t）²=（50-t）²，令y=0，得AO=10

25-t

，從而AD=f(t)=10

25-t

+5

t

(0＜t≤25)，
方法一：利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值即可；
方法二：（三角換元）令t=25cos2α，α∈[0，

π

2

)，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域，解出即可；
方法三：令x=

25-t

，y=

t

，則題意相當于：已知x²+y²=25（x≥0，y≥0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值．利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識解出即可．

解答： 解：（1）∵CD=50-t=30，解得t=20．
此時圓E：x²+（y-20）²=30²，
令y=0，得AO=10

5

，
∴OD=AD-AO=24

5

-10

5

=14

5

，
將點C(14

5

，30)代入y=-ax²+50（a＞0）中，
解得a=

1

49

．
（2）∵圓E的半徑為50-t，
∴CD=50-t，在y=-ax²+50中，令y=50-t，得OD=

t a

，
則由題意知FD=50-t+

t a

≤75對t∈（0，25]恒成立，
∴

1 a

≤

t

+

25

t

恒成立，而當

t

=

25

t

，即t=25時，

t

+

25

t

取最小值10，
故

1 a

≤10，解得a≥

1

100

．
（3）當a=

1

25

時，OD=5

t

，
又圓E的方程為x²+（y-t）²=（50-t）²，
令y=0，得x=±10

25-t

，
∴AO=10

25-t

，
從而AD=f(t)=10

25-t

+5

t

(0＜t≤25)，
又∵f′（t）=5(

-2

2 25-t

+

1

2 t

)=

5

2

25-t -2 t

25-t • t

，
令f'（t）=0，得t=5，
當t∈（0，5）時，f'（t）＞0，f（t）單調(diào)遞增；當t∈（5，25）時，f'（t）＜0，f（t）單調(diào)遞減，從而當t=5時，f（t）取最大值為25

5

．
答：當t=5米時，AD的最大值為25

5

米．
（3）方法二：（三角換元）令t=25cos2α，α∈[0，

π

2

)，則AD=10

25-t

+5

t

=10×5sinα+5×5cosα=10×5sinα+5×5cosα=25

5

sin(α+ϕ)，其中ϕ是銳角，且tanϕ=

1

2

，
從而當α+ϕ=

π

2

時，AD取得最大值為25

5

米．
方法三：令x=

25-t

，y=

t

，則題意相當于：已知x²+y²=25（x≥0，y≥0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值．
根據(jù)線性規(guī)劃知識，當直線y=-2x+

z

5

與圓弧x²+y²=25（x≥0，y≥0）相切時，z取得最大值為25

5

米．

點評：本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質(zhì)、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)換元、線性規(guī)劃的有關(guān)知識，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．