分析 (1)設M(4√2,m),由A(-2√2,0),B(2√2,0),垂心H(4√2,-4√7),由BH⊥MA,運用直線斜率公式和斜率之積為-1,可得m,再由直線MA與橢圓求得交點P;
(2)設M(4√2,m),由A(-2√2,0),B(2√2,0),可得MA的方程為y=m6√2(x+2√2),代入橢圓方程,運用韋達定理,解得P的坐標;同理求得Q的坐標,運用直線的斜率公式可得PQ的斜率,由點斜式方程可得PQ的方程,再由恒過定點思想,即可得到所求定點.
解答 解:(1)設M(4√2,m),由A(-2√2,0),B(2√2,0),
垂心H(4√2,-4√7),由BH⊥MA,可得
kBH•kMA=-1,即有4√7−2√2•m6√2=-1,
可得m=6√7,
由MA的方程:y=1√14(x+2√2),代入橢圓方程,可得
8x2+4√2x-48=0,
解得x=-2√2,或3√22,即有P(3√22,√72);
(2)設M(4√2,m),由A(-2√2,0),B(2√2,0),
可得MA的方程為y=m6√2(x+2√2),代入橢圓方程,可得
(36+m2)x2+4√2m2x+8m2-288=0,
由-2√2xP=8m2−28836+m2,可得xP=(72−2m2)√236+m2,
yP=m6√2(xP+2√2)=24m36+m2;
又MB:y=m2√2(x-2√2),代入橢圓方程,可得
(4+m2)x2-4√2m2x+8m2-32=0,
由2√2+xQ=4√2m24+m2,可得xQ=(2m2−8)√24+m2,
yQ=m2√2(xQ-2√2)=-8m4+m2,
即有直線PQ的斜率為k=yQ−yPxQ−xP=8m√2(12−m2),
則直線PQ:y-24m36+m2=8m√2(12−m2)(x-(72−2m2)√236+m2),
化簡即有y=8m12−m2(√22x-1),
由√22x-1=0,解得x=√2,y=0.
故直線PQ恒過定點(√2,0).
點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理,同時考查直線方程的運用以及直線的斜率公式,考查運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4}) | B. | -\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4}) | C. | \sqrt{2}sin(x-\frac{π}{4}) | D. | -\sqrt{2}sin(x-\frac{π}{4}) |
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