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16.已知橢圓E:x28+y24=1,A、B分別是橢圓E的左、右頂點,動點M在射線1:x=42(y>0)上運動,MA交橢圓E于點P,MB交橢圓E于點Q.
(1)若△MAB垂心的縱坐標為-47,求點的P坐標;
(2)試問:直線PQ是否過定點?若過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由.

分析 (1)設M(42,m),由A(-22,0),B(22,0),垂心H(42,-47),由BH⊥MA,運用直線斜率公式和斜率之積為-1,可得m,再由直線MA與橢圓求得交點P;
(2)設M(42,m),由A(-22,0),B(22,0),可得MA的方程為y=m62(x+22),代入橢圓方程,運用韋達定理,解得P的坐標;同理求得Q的坐標,運用直線的斜率公式可得PQ的斜率,由點斜式方程可得PQ的方程,再由恒過定點思想,即可得到所求定點.

解答 解:(1)設M(42,m),由A(-22,0),B(22,0),
垂心H(42,-47),由BH⊥MA,可得
kBH•kMA=-1,即有4722m62=-1,
可得m=67,
由MA的方程:y=114(x+22),代入橢圓方程,可得
8x2+42x-48=0,
解得x=-22,或322,即有P(32272);
(2)設M(42,m),由A(-22,0),B(22,0),
可得MA的方程為y=m62(x+22),代入橢圓方程,可得
(36+m2)x2+42m2x+8m2-288=0,
由-22xP=8m228836+m2,可得xP=722m2236+m2,
yP=m62(xP+22)=24m36+m2;
又MB:y=m22(x-22),代入橢圓方程,可得
(4+m2)x2-42m2x+8m2-32=0,
由22+xQ=42m24+m2,可得xQ=2m2824+m2
yQ=m22(xQ-22)=-8m4+m2,
即有直線PQ的斜率為k=yQyPxQxP=8m212m2
則直線PQ:y-24m36+m2=8m212m2(x-722m2236+m2),
化簡即有y=8m12m222x-1),
22x-1=0,解得x=2,y=0.
故直線PQ恒過定點(2,0).

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理,同時考查直線方程的運用以及直線的斜率公式,考查運算能力,屬于中檔題.

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