Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+1）=f（x-1），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x，若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、[0，2]
• C、（1，2）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)周期性得出可得函數(shù)的周期為2，方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根，
轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f（x）與y=a（x+1）的圖象有三個不同的交點(diǎn)，由函數(shù)的性質(zhì)可作出它們的圖象，由斜率公式可得邊界，進(jìn)而可得答案．

解答： 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+1）=f（1-x），
∴對稱軸x=1，
f（x）=f（2-x），
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），f（-x）=f（2+x）
即f（x）=f（x+2）
∴可得函數(shù)的周期為2，
∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x，若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根
∴等價于函數(shù)f（x）與y=a（x+1）的圖象有三個不同的交點(diǎn)，
且為偶函數(shù)，如圖所示：

∴由于直線y=a（x+1）過定點(diǎn)B（-1，0），
當(dāng)直線的斜率a=0時，滿足條件，
當(dāng)直線過點(diǎn)A（1，2）時，a=1，不滿足條件．
當(dāng)直線過點(diǎn)B（3，1）時，a=

2

4

=

1

2

，
根據(jù)圖象得出：實(shí)數(shù)a的取值范圍

1

2

＜a＜1，
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查方程根的存在性及個數(shù)的判斷，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．