Question

【題目】如圖，四棱錐中， 底面，底面是直角梯形， ， ， ， ，點(diǎn)在上，且．

（Ⅰ）已知點(diǎn)在上，且，求證：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)二面角的余弦值為多少時(shí)，直線與平面所成的角為？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，直線與平面所成的角為．

【解析】試題分析：（Ⅰ）現(xiàn)根據(jù)已知，結(jié)合平面幾何知識(shí)證明，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形，則，從而，利用底面，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵是平面的一個(gè)法向量，

再求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）∵， ，∴，

∵底面是直角梯形， ， ，

∴，即，

∴，

∵， ，∴，

∴四邊形是平行四邊形，則，

∴，

∵底面，∴，

∵，

∴平面，∵平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）解：∵， ，∴平面，則為直線與平面所成的角，

若與平面所成夾角為，則，即，

取的中點(diǎn)為，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ，

∴， ，

設(shè)平面的法向量，則即

令，則， ，∴，

∵是平面的一個(gè)法向量，

∴，

即當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，直線與平面所成的角為．