【題目】如圖,在四棱錐E﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F(xiàn)為CE的中點(diǎn),求證:

(1)AE∥平面BDF;
(2)平面BDF⊥平面ACE.

【答案】
(1)證明:設(shè)AC∩BD=G,連接FG,易知G是AC的中點(diǎn),∵F是EC中點(diǎn),由三角形中位線的性質(zhì)可得 FG∥AE,

∵AE平面BFD,F(xiàn)G平面BFD,∴AE∥平面BFD


(2)證明:∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,

平面ABCD∩平面ABE=AB∴BC⊥平面ABE,又∵AE平面ABE,∴BC⊥AE,

又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,∴AE⊥平面BCE,∴AE⊥BF.

在△BCE中,BE=CB,F(xiàn)為CE的中點(diǎn),∴BF⊥CE,AE∩CE=E,∴BF⊥平面ACE,

又BF平面BDF,∴平面BDF⊥平面ACE.


【解析】(1)設(shè)AC∩BD=G,由三角形中位線的性質(zhì)可得 FG∥AE,從而證明AE∥平面BFD.(2)利用線面垂直的判定定理AE⊥平面BCE,得到AE⊥BF,由等腰直角三角形的性質(zhì)證明BF⊥CE,
從而證明BF⊥平面ACE,即證平面BDF⊥平面ACE.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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A.1
B.2
C.3
D.4

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②y=2x;
③y= ;
④f(x)=lnx,
則其中“Ω函數(shù)”共有(
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

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A.
B.
C.
D.

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A.0
B.3
C.6
D.﹣

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