Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點P（1，

3

2

），F(xiàn)₁、F₂分別為其左、焦點，直線l為其右準(zhǔn)線．
（1）若2≤a≤

22

2

，求離心率e的取值范圍；
（2）橢圓C的離心率e=

1

2

，點M是直線l上一動點．
①若直線F₁M交橢圓于S點，且F₁S=SM，求∠F₁SF₂的余弦值；
②直線L上是否存在一點N，使得F₁M⊥F₂N，且MN=2

14

？若存在，請求出N點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,存在型,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運用離心率公式，以及橢圓經(jīng)過點P，由不等式的性質(zhì)，即可求出e的范圍；
（2）①運用中點坐標(biāo)公式，求出S的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出m，再由橢圓的定義和兩點的距離公式，以及余弦定理，即可求出所求值；
②假設(shè)直線l上存在一點N，使得F₁M⊥F₂N，且MN=2

14

．運用斜率公式，列方程，消去m，得到n的方程，解出即可得到．

解答： 解：（1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點P（1，

3

2

），
則

1

a2

+

9

4b2

=1，即有b²=

9a2

4(a2-1)

，e²=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

9

4(a2-1)

，
由于2≤a≤

22

2

，則3≤a²-1≤

7

2

，即有

1

4

≤1-

9

4(a2-1)

≤

5

14

，
則離心率e的取值范圍是[

1

2

，

70

14

]；
（2）①橢圓C的離心率e=

1

2

，即有a=2c，b=

3

c，
代入

1

a2

+

9

4b2

=1，解得，c=1，a=2，b=

3

，
則橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，焦點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
右準(zhǔn)線方程為l：x=4，設(shè)M（4，m），
由于直線F₁M交橢圓于S點，且F₁S=SM，
則S（

3

2

，

m

2

），代入橢圓方程，得，

9

16

+

m2

12

=1，解得，m²=

21

4

，
則|F₁S|=

25 4 + 21 16

=

11

4

，|F₂S|=4-

11

4

=

5

4

，|F₁F₂|=2，
則cos∠F₁SF₂=

25 16 + 121 16 -4

2× 5 4 × 11 4

=

41

55

；
②假設(shè)直線l上存在一點N，使得F₁M⊥F₂N，且MN=2

14

．
則設(shè)M（4，m），N（4，n），則有|m-n|=2

14

，

m

5

•

n

3

=-1，
消去m，得到n²±2

14

n+15=0，由于判別式為4×14-4×15＜0，
故方程無實數(shù)解，即不存在一點N，使得F₁M⊥F₂N，且MN=2

14

．

點評：本題考查橢圓的方程和定義、性質(zhì)及運用，考查直線的斜率公式及方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．