5.如圖,幾何體ABC-C1B1的底面ABC為等邊三角形,側(cè)面BB1C1C為矩形,B1B⊥平面ABC,E為邊AB1的中點,D在邊BC上移動.
(1)若D為邊BC的中點,求證:BE∥平面ADC1;
(2)若AB=BB1=2,記l為平面BEC與平面ADC1的交線,試確定點D的位置,使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$.

分析 (1)取AC1的中點F,則四邊形BEFD為平行四邊形,從而BE∥DF,由此能證明BE∥平面ADC1
(2)取點G為AC的中點,直線DF即直線l,以BC的中點O為原點,OC為x軸,OA為y軸,過O垂直于平面ABC的直線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出點D是線段OC中點時,使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$.

解答 證明:(1)取AC1的中點F,則EF∥B1C1∥BD,
且EF=$\frac{1}{2}$B1C1=BD,
∴四邊形BEFD為平行四邊形,∴BE∥DF,
又DE?平面ADC1,∴BE∥平面ADC1
解:(2)取點G為AC的中點,由(1)知直線DF即直線l,
GB⊥平面ACC1,即確定點D的位置,使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$,
如圖,以BC的中點O為原點,OC為x軸,OA為y軸,
過O垂直于平面ABC的直線為z軸,建立空間直角坐標系,
則C(1,0,0),C1(1,0,2),A(0,$\sqrt{3}$,0),
∵E和F關于平面yoz對稱,∴F($\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$,1),
∵BG⊥AC,BG⊥AC1,設D(a,0,0),
∴平面ACC1的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{BG}$=($\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0$),$\overrightarrow{FD}$=(a-$\frac{1}{2}$,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,-1),
∵直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$,
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{FD}|}$=$\frac{|\frac{3}{2}(a-\frac{1}{2})-\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}•\sqrt{(a-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$,
整理,得6a2-13a+5=0,解得a=$\frac{1}{2}$,或a=$\frac{5}{3}$,
∵D在邊BC上移動,∴a=$\frac{1}{2}$,
∴點D是線段OC中點時,使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$.

點評 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的點的位置的確定,是中要檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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