已知S
n是數(shù)列{a
n}的前n項和,且滿足S
n2=n
2a
n+S
n-12(n≥2,n∈N
+)又已知a
1=0,a
n≠0,n=2,3,4…
(1)計算a
2,a
3,并求數(shù)列{a
2n}的通項公式;
(2)若b
n=(
)
an,T
n為數(shù)列{b
n}的前n項和,求證:T
n<
.
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由S
n2=n
2a
n+S
n-12(n≥2,n∈N
+),a
1=0,a
n≠0,分別取n=2,3即可得出a
2,a
3.由S
n2=n
2a
n+S
n-12,利用a
n=S
n-S
n-1,可得
Sn+Sn-1=n2,利用遞推式可得a
n+1+a
n=2n+1,變形為a
n+1-(n+1)=-(a
n-n),利用等比數(shù)列的通項公式即可得出a
n,進而得到a
2n.
(2)由(1)可知:a
n=
| 1,n=1 | n-2,n=2k-1(k≥2,k∈N*) | n+2,n=2k(k≥1,k∈N*) |
| |
.可得T
2k=1+
[()1+()3+…+
()2k-3]+
[()4+()6+…+()2k+2],利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.即可證明.
解答:
(1)解:∵S
n2=n
2a
n+S
n-12(n≥2,n∈N
+),a
1=0,a
n≠0,
∴取n=2可得:
=22a2+,即
(0+a2)2=4a
2+0,解得a
2=4.
同理取n=3時可得:a
3=1.
由S
n2=n
2a
n+S
n-12,可得S
n2=n
2(S
n-S
n-1)+S
n-12,
化為
(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1-n2)=0,
∴
Sn+Sn-1=n2.
∴S
n+1+S
n=(n+1)
2,
∴a
n+1+a
n=2n+1,
化為a
n+1-(n+1)=-(a
n-n),
∴數(shù)列{a
n-n}是從第二項開始為等比數(shù)列,公比為-1,首項為a
2-2=2.
∴a
n-n=2×(-1)
n-2,
∴
an=n+2(-1)n-2,
∴a
2n=2n+2,
∴數(shù)列{a
2n}的通項公式為a
2n=2n+2.
(2)證明:由(1)可知:a
n=
| 0,n=1 | n-2,n=2k-1(k≥2) | n+2,n=2k(k≥1) |
| |
n∈N
*.
∴T
2k=1+
[()1+()3+…+
()2k-3]+
[()4+()6+…+()2k+2]=1+
+
<1+
+
<
.
而T
2k-1<T
2k,
因此對于?n∈N
*,T
n<.
點評:本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義及其通項公式及其前n選和公式,考查了分類討論思想方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比是3:3:4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本,則應(yīng)從高三年級抽取
名學(xué)生.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知F
1,F(xiàn)
2是橢圓和雙曲線的公共焦點,M是它們的一個公共點,且∠F
1MF
2=
,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( 。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
化簡:
(1)
++(2)
(+)++(3)
+++(4)
-+-(5)
-+(6)
--(7)
++-.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=
| -6n+5(n為奇數(shù)) | 2n(n為偶數(shù)) |
| |
,求這個數(shù)列的前n項和S
n.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則滿足f(
)•f(5)≤0的x取值范圍為( 。
A、[-2,1) |
B、[-1,1] |
C、[1,2] |
D、[2,3] |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x)=
+2,求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5=( 。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}的前n項和為S
n,a
1=1,a
n≠0,a
na
n+1=4S
n-1
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)設(shè)b
n=
,求數(shù)列{b
n}的前n項和T
n.
查看答案和解析>>