Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，M是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F₁MF₂=

π

3

，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（　　）

• A、2
• B、

  2 3

  3

• C、

  4 3

  3

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理和柯西不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a₁，（a＞a₁），半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設(shè)|MF₁|=r₁，|MF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂
∵∠F₁MF₂=

π

3

，
∴由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos

π

3

，①
在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即4c²=4a²-3r₁r₂，
即

3r1r2

4c2

=

1

e12

-1，②
在雙曲線中，①化簡(jiǎn)為即4c²=4a₁²+r₁r₂，
即

r1r2

4c2

=1-

1

e22

，③
聯(lián)立②③得，

1

e12

+

3

e22

=4，
由柯西不等式得（1+

1

3

）（

1

e12

+

3

e22

）≥（1×

1

e1

+

1

3

×

3

e2

）²，
即（

1

e1

+

1

e2

）²≤

4

3

×4=

16

3

，
即

1

e1

+

1

e2

≤

4 3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)e₁=

3

3

，e₂=

3

時(shí)取等號(hào)．即取得最大值且為

4 3

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．