Question

投擲四枚不同的金屬硬幣A、B、C、D，假定A、B兩枚正面向上的概率均為

1

2

，另兩枚C、D為非均勻硬幣，正面向上的概率均為a（0＜a＜1），把這四枚硬幣各投擲一次，設(shè)X表示正面向上的枚數(shù)．
（1）若A、B出現(xiàn)一枚正面向上一枚反面向上與C、D出現(xiàn)兩枚正面均向上的概率相等，求a的值；
（2）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望（用a表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意，得2×

1

2

(1-

1

2

)=a2，由此能求出a．
（2）由已知得X=0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望（用a表示）．

解答： 解：（1）∵A、B出現(xiàn)一枚正面向上一枚反面向上與C、D出現(xiàn)兩枚正面均向上的概率相等，
∴由題意，得2×

1

2

(1-

1

2

)=a2，
解得a=

2

2

．
（2）由已知得X=0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2=

1

4

(1-a)2，
P（X=1）=

C

1 2

×

1

2

×(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a)，
P（X=2）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2+

C

1 2

•

1

2

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

(1+2a-2a2)，
P（X=3）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)+

C

1 2

•

1

2

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

a

2

，
P（X=4）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

a2，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	1 4 (1-a2)	1 2 (1-a)	1 4 (1+2a-2a2)	a 2	1 4 a2

EX=1×

1

2

(1-a)+2×

1

4

(1+2a-2a2)+3×

a

2

+4×

1

4

a2=2a+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．