Question

已知函數(shù)f（x）=x^-1，
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）證明f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，再求出函數(shù)的定義域，并判斷是否關(guān)于原定對(duì)稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，利用函數(shù)的奇偶性下結(jié)論；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性定義對(duì)應(yīng)的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x^-1是奇函數(shù)，證明如下：
函數(shù)f（x）=x^-1的定義域是{x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)閒（-x）=（-x）^-1=-x^-1=-f（x），
所以函數(shù)f（x）=x^-1是奇函數(shù)；
（Ⅱ）證明：任設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的定義，以及利用函數(shù)即偶性和單調(diào)性定義進(jìn)行證明，一定要注意所取的自變量的任意性，屬于基礎(chǔ)題．