Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=-

a

x

．若至少存在一個(gè)x₀∈[1，4]，使得f（x₀）=g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論①當(dāng)a≤0時(shí)②當(dāng)0＜a＜1時(shí)③當(dāng)a≥1時(shí)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）存在一個(gè)x₀∈[1，4]使得f（x₀）＞g（x₀），則ax₀＞2lnx₀，利用參數(shù)分離法，利用導(dǎo)數(shù)易求其最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

． …（1分）
設(shè)h（x）ax²-2x+a，
①當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=-2x＜0，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
則f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．…（2分）
②當(dāng)a≠0時(shí)，
（I）由△=4-4a²=0得a=±1．
當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=a²-2x+1=x²-2x+1=（x-1）²≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a=-1時(shí)，h（x）=ax²-2x+a=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．…（4分）
（II）由△=4-4a²＜0，得a＜-1或a＞1；．
當(dāng)a＜-1時(shí)，開(kāi)口向下，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
則f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．…（5分）
當(dāng)a＞1，開(kāi)口向上，h（x≥0）在（0，+∞）上恒成立，則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
此時(shí)f（x） 在（0，+∞）上單調(diào)遞增…（6分）
（III）由△=4-4a²＞0得-1＜a＜1
若0＜a＜1，開(kāi)口向上，x₁=

1- 1-a2

a

，x₂=

1+ 1-a2

a

，
且x₁+x₂=

2

a

＞0，x₁x₂=1，x₁x₂都在（0，+∞）上..…（7分）
由f（x）＞0，即h（x）＞0，得x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1+ 1-a2

a

；
由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1- 1-a2

a

）和（

1+ 1-a2

a

，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（

1 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）．   
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，x₁＜0，x₂＜0，h（x）=ax2²-2x+a在（0，+∞）
恒成立，即f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．…（9分）
綜上所述：

a≤0	0＜a＜1			a≥1
（0，+∞）	（0，x1）	（x1，x2）	（x2，+∞）	（0，+∞）
遞減	遞增	遞減	遞增	遞增

其中 x₁=

1 1-a2

a

，x₂=

1+ 1-a2

a

   …（10分）
（2）因?yàn)榇嬖谝粋�(gè)x₁∈[1，4]使得f（x₀）＞g（x₀），
則ax₀＞2lnx₀，等價(jià)于a＞

2lnx0

x0

．
令F（x）=

2lnx

x

，等價(jià)于“當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，a＞F（x）_min．…（11分）
對(duì)F（x）求導(dǎo)，得F′（x）=

2(1-lnx)

x2

．…（12分）
因?yàn)閤∈[1，4]，由F′（x）＞0，∴1＜x＜e，F(xiàn)′（x）＜0，∴e＜x＜4所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，在[e，4]上單調(diào)遞減．…（13分）
由于F（4）＞F（1），所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，對(duì)于“能成立”問(wèn)題及“恒成立”問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．