Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=2a_n-4n（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n+4}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)bn=

an

λn

，其中λ＞0，若{b_n}為遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2a_n-4n（n∈N^*）．利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n+4=2（a_n-1+4），即可證明．
（2）由（1）可得：an=2n+2-4，bn=

an

λn

=

2n+2-4

λn

．{b_n}為遞減數(shù)列，可得b_n+1＜b_n，即可得出．

解答： （1）證明：∵S_n=2a_n-4n（n∈N^*）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4n-（2a_n-1-4n+4）=2a_n-2a_n-1-4，
化為a_n+4=2（a_n-1+4），
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-4，解得a₁=4．
∴數(shù)列{a_n+4}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為8，公比為2；
（2）解：由（1）可得：an+4=8×2n-1，化為an=2n+2-4．
∴bn=

an

λn

=

2n+2-4

λn

，
∵{b_n}為遞減數(shù)列，
∴b_n+1＜b_n，
∴

2n+3-4

λn+1

＜

2n+2-4

λn

，
又λ＞0，化為λ＞2+

4

2n+2-4

≥3，當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)．
∴λ＞3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了變形能力與計(jì)算能力，屬于難題．