Question

某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁輪在方位角為45°，距離為10nmile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救．（注：方位角定義：從某點的正北方向起，順時針方向旋轉(zhuǎn)到目標方向的角）
（Ⅰ）求艦艇靠近漁輪所需的時間；
（Ⅱ）設(shè)艦艇的航向與AC的夾角為α，求α的正弦值．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（Ⅰ）可先根據(jù)題意，畫出圖形，不難得出∠ACB=120°，已知了軍艦和漁船的速度，那么可設(shè)時間，并用時間表示出AB，BC的長，已知了AC的長為10，可根據(jù)余弦定理來求出時間的值．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中求出的時間，可得出AB、BC的長，那么根據(jù)正弦定理即可求出∠α的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)靠近漁船所需的時間為t小時，那么AB=21t（海里）．BC=9t（海里）．
根據(jù)余弦定理可得：AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos120°
∴（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-

1

2

）
化簡得：36t²-9t-10=0
解得：t=

2

3

或t=-

5

12

（不合題意舍去）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得出的時間值可得：AB=14，BC=6
根據(jù)正弦定理可得：

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

sin∠CAB=BC•sin120°÷AB=6×

3

2

÷14=

3 3

14

．
即sin∠α=

3 3

14

．

點評：本題主要考查了解直角三角形中方向角的應(yīng)用問題，畫對圖形是解題的關(guān)鍵．