Question

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)M（1，2）和N（

13

5

，

14

5

），且圓心C在直線l：x-2y+2=0上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記事件“直線ax-by+2b=0與圓C相交”為A，若將一顆骰子投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為a、b，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：綜合題,直線與圓,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）確定圓心坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）依題意：直線ax-by+2b=0與圓C相交，則d=

|2a|

a2+b2

＜1，得到：3a²＜b²，又可知a，b均大于0，故b＞

3

a，利用列舉法，即可求出事件A發(fā)生的概率．

解答： 解：（1）因?yàn)镸（1，2），N(

13

5

，

14

5

)，
所以線段MN的中點(diǎn)D(

9

5

，

12

5

)，直線MN的斜率為

1

2

，
因此直線MN的垂直平分線的方程為：y-

12

5

=-2(x-

9

5

)，即2x+y-6=0，
所以圓心C的坐標(biāo)是方程組

2x+y-6=0 x-2y+2=0

的解，得

x=2 y=2

，圓C的半徑長r=|CM|=1
所以圓C的方程是（x-2）&²+（y-2）²=1…（6分）
（2）依題意：直線ax-by+2b=0與圓C相交，則d=

|2a|

a2+b2

＜1，得到：3a²＜b²，
又可知a，b均大于0，故b＞

3

a
當(dāng)a=1時(shí)，b=2，3，4，5，6
當(dāng)a=2時(shí)，b=4，5，6
當(dāng)a=3時(shí)，b=6
所以事件A包含的基本事件結(jié)果為9，總的基本事件結(jié)果有6×6=36種，
故事件A發(fā)生的概率為P=

9

36

=

1

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查概率的求解，確定圓的方程是關(guān)鍵．